definiciones de teorias en cujuntos

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Descomposición de un número natural en producto de factores primos Explicación y ayuda para descomponer correctamente cualquier número natural en producto de sus factores primos.
Los números naturales pueden ser primos o compuestos.Los números compuestos se llaman así porque se pueden descomponer en producto de números (factores) primos.Este proceso de descomposición es muy importante para muchos procesos numérico/matemáticos.Las reglas de divisibilidad nos ayudan en esta tarea.Primero vemos (con la regla de divisibilidad) si el número es divisible por ese primo. luego, hacemos la división y convertimos el número (dividendo) en el producto de divisor por cociente.
Si el número es pequeño podemos intentar hacerlo "de cabeza". El proceso podría ser:1.- Buscamos una pareja de números cualesquiera que multiplicados den el número inicial.2.- Si esta pareja de números son primos, ya hemos acabado.3.- En caso de que alguno de los factores no sea primo, se vuelve a descomponer en producto de otros dos...4.- Repitiendo los pasos anteriores hasta que todos los factores sean primos.5.- Una vez encontrados los factores primos, se ordenan de menor a mayor (es un convenio presentarlo de esta forma).6.- Posteriormente, si hay varios factores iguales, se presenta en forma de potencia. (Nosotros, de momento, no lo vamos a presentar en forma de potencia).Ejemplo:Supongamos que tengo que descomponer el 36.La primera pareja de números que se me ocurre que multiplicados dan 36 es nueve por cuatro:36 = 9 x 4Como ni nueve ni cuatro son primos, los vuelvo a descomponer:36 = (3 x 3) x (2 x 2)Y ordeno los factores de menor a mayor:36 = 2 x 2 x 3 x 3Puedes practicar intentando descomponer en producto de factores primos, los primeros números compuestos. Ten en cuenta que el orden es fundamental y que el programa no va a considerar como correcto un producto que no esté correctamente ordenado de menor a mayor:

Definición en teoría de conjuntos
En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La idea es que se pueda contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por Von
Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.
Formalmente, un conjunto x se dice que es un número natural si cumple
Para cada ,
La relación es un orden total estricto en x
Todo subconjunto no vacío de x tiene elementos mínimo y máximo en el orden
Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores. Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que no contiene elementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor.
Se define entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por 0 y que cada número natural n tiene un sucesor denotado como n + . Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes expresiones:

De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Por ejemplo:
Por definición 0 = {} (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)
1 es el sucesor de 0, entonces
2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces
y en general

Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de un conjunto es por naturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define la mediante la expresión

es decir que un número a es menor o igual que b si y solo si b contiene a todos los elementos de a.
También se puede usar otra definición más inmediata a partir del hecho de que cada número natural consta de sus antecesores. Así si y solo si .
Ésa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo axiomático Zermelo-Fraenkel. El postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica de demostración conocida como inducción matemática.
Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo contiene a todos los números naturales, es decir que si A es un conjunto inductivo, entonces . Esto significa que, en efecto, es el mínimo conjunto inductivo.
Se define la suma por inducción mediante las expresiones:

Lo que convierte a los números naturales en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamado Monoide Libre con un generador. Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse en un grupo matemático. El menor grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros.
De manera análoga, la multiplicación × se define mediante las expresiones

Esto convierte (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un monoide conmutativo.

algunos postulanos de peano

Postulados de Peano [editar]
Los Postulados de Peano describen la estructura Números Naturales sin necesitad de otra teoría alguna (por ejemplo Teoría de Conjuntos) y ajena de las definiciones aritméticas de suma o equivalencia, de la siguiente forma:
0 es un símbolo que cumple la propiedad de ser un Número Natural. (Nótese que 0 no tiene que significar nada en lo absoluto, bien puede ser una manzana, el conjunto vacío, el uno en los reales o cualquier otra cosa)
Si α es un Número Natural, entonces el símbolo σ(α) representa a un Número Natural distinto de α, cuyo significado será: aquél Número Natural que sucede al Número Natural α. (Nótese en este postulado que el significado del símbolo, otra vez, es independiente de la notación, este postulado nos permite construir nuevos Números Naturales, encerrándolos entre el los símbolos σ( y ))
el símbolo 0 no tiene la forma σ(α) para α un Número Natural, por lo tanto, no existe un Número Natural α tal que el símbolo 0 represente al mismo objeto que σ(α) (A este postulado se le conoce con el nombre de Principio del Buen Orden, pues garantiza un elemento inicial)
Si α y β son Número Naturales distintos, entonces los Números Naturales σ(α) y σ(β) también son distintos. (En Teoría de Conjuntos este postulado se leería como: σ es una función inyectiva)
Si S es una colección o grupo tal que:
0 forma parte de S y,
para cada α elemento de S, α es un Número Natural y además, el Número Natural σ(α) forma parte de S,
enconces S representa a la colección o grupo de todos los Números Naturales.
A este último postulado se le conoce también con el nombre de inducción matemática. Se viene utilizando de modo más o menos informal desde la antigüedad (Euclides, Al-Karaji) y fue definida con más precisión por Francesco Maurolico, Jakob Bernoulli, Pascal y Fermat. Peano incorporó la inducción como un axioma de su sistema, como único medio para poder demostrar propiedades, incluso muy básicas, de los números naturales. Sin embargo, el principio de inducción matemática es más complejo que el resto de los axiomas. En términos de lógica, es el único clasificable como lógica de segundo orden, en tanto que los demás axiomas son de lógica de primer orden. Se han propuesto sistemas axiomáticos más débiles, que prescinden del principio de inducción (aritmética de Robinson).

los numeros naturales

Número natural
Los números naturales pueden usarse para contar (una manzana, dos manzanas, tres manzanas,
Un número natural es cualquiera de los números 0, 1, 2, 3... (o el mismo conjunto excluyendo el 0 según qué autores se consulten), que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.
Algunos matemáticos (especialmente los de Teoría de Números) prefieren no reconocer el cero como un número natural, mientras que otros, especialmente los de Teoría de conjuntos, Lógica e Informática, tienen la postura opuesta.

Definiciones no matemáticas
La Real Academia Española los define como "cada uno de los elementos de la sucesión 0, 1, 2, 3..."
Definición de número: símbolo que indica una cantidad, estos símbolos según datos históricos comienzan en el antiguo Egipto y la Mesopotamia, no se sabe dónde, cuándo, ni por quién, pero fueron inventados por el hombre, al observar la gran cantidad y variedad de elementos que hay en la naturaleza.Surgió entonces la necesidad e inquietud matemática.Empezaron los antiguos a clasificar los elementos que tenían a su alrededor: árboles, frutas, animales, etc... Y luego los enumeraron: 2 árboles, 3 manzanas, 5 rocas, etc... Fue así como de esta relación de orden y clasificación surgió el concepto de número abstracto y de allí surge la matemática.
Definición de natural: según el diccionario Larousse se refiere a la naturaleza y también al originario de un lugar.
Mirtha Elías K. en su libro Matemática de 7º Grado, Pág. 9 Capítulo I, dice que natural es algo cotidiano y se usa casi sin advertirlo. Según ella, todo se encuentra en la naturaleza y por eso los números naturales se llaman así, porque los usamos en forma natural casi sin advertirlo.
Enrique Navarro en su libro matemática de 7º Grado, Pág. 16, los define como el conjunto de los números enteros positivos, entendiéndose por entero todo número no decimal, ni fraccionario y como positivo todo número que se ubica a la derecha del cero en la recta real.